Фэндом


Глава 1. Попурри о математических суждениях Править

Оглавление [1]

Глава 1.


1.1 Абстракция. Абстракция математическая. Существенные и несущественные стороны абстракции Править

Обратимся к словарю: Абстракция – мысленное отвлечение от тех или иных сторон, свойств или связей предмета; отвлеченное понятие или теоретическое обобщение, образуемое в результате абстрагирующей деятельности человеческого мышления. Научная абстракция – отвлечение в процессе познания от частных и несущественных сторон рассматриваемого явления с целью сосредоточения на общих, основных, существенных его чертах. (Словарь иностранных слов. М.: 1955)

Математические предметы, определения строятся как раз в результате абстрагирующей деятельности человеческого мышления. При этом, следовательно, происходит отвлечение от частных и несущественных сторон определяемого предмета. Различным математикам присущи различные степени абстрагирования рассматриваемого предмета. Несущественные стороны рассматриваемого явления для одних математиков могут оказаться существенными сторонами для другого математика, и, наоборот, существенные стороны рассматриваемого явления для вторых математиков могут оказаться несущественными его сторонами для первых математиков.

По иному, степени мысленного отвлечения (абстрагирования) от несущественных сторон явления, приемлемые для одних математиков, могут оказаться неприемлемыми для других математиков.

В-третьих, эти степени мысленного отвлечения, абстрагирования могут осуществляться явно или скрытно, сознательно или бессознательно. Таким образом, математическое определение может скрывать в себе аксиому (по терминологии Анри Пуанкаре) в различной степени отвлечения от тех или иных сторон, свойств рассматриваемого предмета в зависимости от исходных позиций, подхода к определению математических предметов.

Обратимся теперь к Математической энциклопедии. (Математическая энциклопедия. Т.1. – М.: Советская энциклопедия, 1977). Абстракция математическая – абстракция в математике, мысленное отвлечение, представляющее собой существенную составную часть мыслительной деятельности, направленное на формирование основных математических понятий.

Наиболее характерным для математики типами абстрагирования являются «чистое» отвлечение, идеализация и разнообразные многоступенчатые наслоения.

Мысленный акт «чистого» отвлечения состоит в том, что в некоторой рассматриваемой нами ситуации наше внимание фиксируется лишь на определенных (существенных для нас) свойствах исходных объектов рассмотрения и отношениям между этими объектами, в то время как другие отношения и свойства, рассматриваемые нами как несущественные, нашим сознанием в расчет не принимается. Результат такого акта абстрагирования, закрепленный с помощью надлежащих языковых средств, начинает играть роль общего понятия. Типичной такой абстракцией является абстракция отождествления.

Мысленный акт идеализации состоит в том, что в некоторой рассматриваемой нами ситуации наше воображение порождает некоторое понятие, становящееся для нашего сознания предметом рассмотрения. Причем это понятие наделяется нашим воображением не только такими свойствами, которые были выделены у исходных объектов в результате актов «чистого» отвлечения, но и другими – воображаемыми свойствами, отражающими свойства исходных объектов в измененном виде или даже вообще отсутствующими у этих последних.

Одной из наиболее традиционной для математики идеализацией является абстракция актуальной бесконечности, ведущее к идее актуальной бесконечности. Эта абстракция лежит в основе теоретико-множественного построения математики. Другая традиционная идеализация – абстракция потенциальной осуществимости – приводит к идее потенциальной бесконечности.

Оглавление [2]

Глава 1.

1.2. Определяемые и неопределяемые понятия в математике. Скрытое определение в математике Править

Оглавление [3]

Глава 1.

При содержательном изложении математики одни понятия вводятся через свои определения, в то время как другие – без своего определения, как первоначальные неопределяемые понятия.

Однако законно спросить: Много ли выигрывают определяемые понятия перед неопределяемыми? За примерами можно обратиться к евклидовой геометрии. Математические понятия плоскость, прямая, точка вводятся обычно как неопределяемые, в то время как, например, окружность, отрезок, треугольник и т.д. вводятся уже как определяемые.

Приведем одно из определений окружности: Окружность – это замкнутая кривая на плоскости, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки, называемой центром.

Можно ли, после принятия этого определения, считать, что теперь мы имеем полное представление об окружности? Более глубокое размышление говорить о противном. На основе этого определения даже нельзя доказать, что на окружности вообще имеются точки.

Чтобы иметь более полное представление об окружности, необходимо знать еще многое о ней. Например, надо знать, когда через три точки можно провести окружность, а когда – нет; Когда пересекаются окружности, а когда нет; Если пересекаются окружности, то сколько имеют точек пересечения; Можно ли описать окружность вокруг треугольника и т.д. и т.п.

Первоначальное определение, которое обычно дают предмету, дает неполную информацию о нем, а позволяет лишь начинать говорить о предмете, а более полная информация приобретается в процессе длительного изучения предмета в его взаимосвязи с другими предметами.

Таким образом, когда говорим себе, что такой-то предмет допускает строгое определение, мы себе создаем иллюзию. Степень строгости определения – понятие относительное.

Второй момент. Когда говорим об окружности как о замкнутой кривой на плоскости, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки, то с получением некоторого представления об окружности попутно получаем определенную информацию и о замкнутой кривой вообще (замкнутой кривой может быть окружность), о плоскости (на плоскости можно проводить окружности), о точках (о точках как об элементах окружности), о равноудаленных точках (можно говорить о расстоянии между точками) и т.д. (Нелишне здесь напомнить, что понятие окружности опирается на такие понятия, которые сами требуют своего определения).

Другими словами, когда мы определяем какой-нибудь предмет, скрытно попутно косвенно определяются до определенной степени и другие предметы.

В процессе построения той или иной теории, например, евклидовой геометрии на плоскости, те малые информации, которые приобретаются скрытно, суммируются и мы постепенно, раз за разом, уточняем свое представление о предмете, который мы ввели раньше как первоначальное неопределяемое понятие, под конец получаем достаточно полную информацию.

Таким образом, определяемые понятия особой привлекательностью не обладают перед неопределяемыми понятиями. Те и другие для своего определения требуют длительных разъяснений, возможно, неопределяемые понятия требуют большей длительности, но, в конечном счете, достигается желаемый результат. Таких длительных разъяснений требуют такие понятия математики, как множество, бесконечность, абстракция, абстракция актуальной бесконечности и потенциальной осуществимости, кванторы общности и существования, принцип индукции и законы де Моргана, закон исключенного третьего и т.д., которые тесно переплетаются между собой.

Наша основная задача и состоит в осуществлении поставленной задачи, т.е. достаточно подробном разъяснении перечисленных и некоторых других понятий математики.

Для осуществления этой цели, прося извинений у читателя, приходится нам строить примеры длинных рассуждений, не имея другой возможности для достижения поставленной цели.

Первоначальные неопределяемые понятия определяются скрытно в процессе построения соответствующих теорий. Этот процесс скрытого определения предмета может осуществляться в процессе прямого введения предмета через его определения, в процессе построения систем аксиом, в процессе установления взаимосвязи аксиом, доказательстве теорем и т.д. и т.п.

Оглавление [4]

Глава 1.

1.3. Скрытые аксиомы в математике. Скрытые абстракции в математике Править

Оглавление [5]

Глава 1.

На возможность допущения аксиом, определений в скрытой форме мы обратили свое внимание при изучении работы Анри Пуанкаре «Наука и Гипотеза» (см. Пуанкаре, 1983, с.36). Вот как описывается этот факт в указанной работе:

«Являются ли аксиомы, явно формулируемые в руководствах, единственными основаниями геометрии? Мы можем убедиться в противном, замечая, что если одну за другой отвергнуть эти аксиомы, все-таки еще останутся нетронутыми некоторые предложения, общие теориям Евклида, Лобачевского и Римана. Эти предложения должны опираться на некоторые предпосылки, которые геометры допускают в скрытой форме. Интересно выделить их из классических доказательств.

Стюарт Милль утверждал, что всякое определение содержит аксиому, так как, определяя, скрыто утверждают существование определяемого предмета. Это значило бы заходить слишком далеко; редко бывает, чтобы математики давали определение, не доказав существования определяемого объекта; если же они избавляют себя от этого труда, то обыкновенно в тех случаях, когда читатель сам легко может сделать соответствующее дополнение. Но не следует забывать, что слово «существует» имеет различный смысл тогда, когда речь идет о математическом объекте, и тогда, когда вопрос касается материального предмета.

Математический объект существует, если определение не заключает противоречия ни в самом себе, ни с предложениями, допущенными раньше. Но если замечание Стюарта Милля не может быть приложено ко всем определениям, оно, тем не менее, остается справедливыми для некоторых из них».

Далее Анри Пуанкаре приводит примеры определений из геометрии, которые действительно скрывают в себе некоторые аксиомы.

Различный смысл придают слову «существует» не только тогда, когда речь идет о математическом объекте, но и тогда, когда вопрос касается обоснованию математики приверженцами различных школ в обосновании математики, даже одними и теми же математиками в разные периоды его зрелости. Поэтому вопрос о том, «скрывает ли в себе определение ту или иную аксиому (абстракцию) или нет», будет дискуссионной для приверженцев различных школ в основании математики.

Мы ниже стараемся привлечь внимание читателя на те математические объекты, математические абстракции, которые скрывают в себе некоторые аксиомы не только в геометрии, но и в других математических суждениях.

Приверженцы различных школ вкладывают различный смысл в понятие «Определение скрывает в себе аксиому». Если для одних мыслителей определение скрывает в себе аксиому, то другие могут и «не увидеть», что оно действительно скрывает ее.

Математические суждения опираются на некоторые предпосылки – абстракции, которые математики допускают в скрытой форме, не отдавая себе ясного отчета в этом обстоятельстве. По нашему глубокому убеждению, многие недоразумения в основании математики проистекают главным образом оттого, что мы не берем в наши расчеты последнее обстоятельство. Поэтому было б интересно выделить их из суждений математиков, придерживающихся различных точек зрения в подходе к обоснованию математики.

Необходимо осознать, что когда мы доказываем какое-нибудь предложение, то мы на самом деле доказываем эквивалентность его некой абстракции, принятой нами сознательно или бессознательно, скрыто или явно'.

Глава 1.

Оглавление [6]

Глава 1.

1.4. Предикативное и непредикативное определение в математике Править

Понятие непредикативное определение мы встречаем у Анри Пуанкаре (Пуанкаре, 1983, с. 395), который возражал против правомерности применения таких суждений в математике.

Непредикативное определение – это определение, осмысленность которого предполагает наличие (скрытно) самого определяемого объекта, или – определение, опирающееся скрытно, косвенно на сам определяемый предмет. Непредикативное определение, по иному, это суждение, основанное на принципе порочного круга или заколдованного круга.

Ставится вопрос, можно ли построить математику на предикативной основе? Такие попытки были предприняты различными математиками. Однако, их теории по разным обстоятельствам нам не приемлемы.

Возражения против употребления непредикативных определений в математике впервые определенно были высказаны Анри Пуанкаре в 1906 г., ему принадлежит и сам термин. Пуанкаре заметил, в частности, что в известных парадоксах теории множеств непременно фигурируют непредикативные определения.

В математических суждениях встречаются как предикативные, так и непредикативные определения.

Оглавление [7]

Глава 1.

1.5. Существование в математике Править

Оглавление [8]

Глава 1.

Существование материальных предметов и существование математических предметов имеют разный смысл. Статусу существования в математике разные мыслители придают разные смыслы.

Цитируем по М. Клайн. Как следует понимать существование в математике? Одни математики склонны считать «существующим» любое понятие, оказавшееся полезным, если оно не приводит к противоречиям, например, обычную замкнутую поверхность, площадь которой бесконечна. Для других математиков «существование» означает четко распознаваемое определение или такое понятие, которое позволяет отождествить или, по крайней мере, описать его. Одной возможности выбора недостаточно. В дальнейшем эти взаимоисключающие точки зрения стали еще более непримиримыми. (М. Клайн, 1984, с. 246).

В каком смысле можно утверждать, что математические понятия существуют? Должны ли они соответствовать реальным физическим объектам, являясь их идеализацией? Эту проблему рассматривал еще Аристотель. Он, как и большинство греческих мыслителей, считал, что математические понятия непременно должны иметь реальные прототипы. Именно из-за отсутствия физических реализаций Аристотель отвергал и существование бесконечного множества как «готовой» совокупности элементов и правильный семиугольник, который не удавалось построить циркулем и линейкой, что заставляло античных математиков считать его «непостроимым», т.е. в определенном смысле «несуществующим». С другой стороны, последователи Платона, а Кантор был одним из них, полагали, что идеи существуют в некоем объективном «мире идей» и не зависят от человека. Человек лишь открывает эти идеи.

Другой гранью проблемы существования был смысл доказательств существования. Например, Гаусс доказал, что любое алгебраическое уравнение положительной степени с вещественными или комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень. Но из приведенного Гауссом доказательства не было ясно, каким образом можно вычислить этот корень. Аналогично, Кантор доказал, что вещественных чисел больше, чем алгебраических. Следовательно, должны существовать трансцендентные числа, не являющиеся алгебраическими. Но такое доказательство не позволяло назвать и тем более вычислить хотя бы одно трансцендентное число. Некоторые математики начала XX века (Борель, Бэр, Лебег) считали, что чистые доказательства существования бессмысленными. По их мнению, доказательства существования должно позволять математикам вычислять существующие величины с любой степенью точности. Такие доказательства получили название конструктивных. (М. Клайн. с. 249)

Открытие парадоксов теории множеств и осознание того, что аналогичные парадоксы могут встретиться и в существующей классической математике (хотя пока они и не обнаружены), заставил математиков всерьез заняться проблемой непротиворечивости. Весьма насущным вдруг стал вопрос о том, какой смысл имеет в математике глагол «существовать», в частности в связи вольным использованием аксиомы выбора. (М. Клайн. 251)

Веру в существование объективного реального мира математики разделял один из искуснейших аналитиков XIX в. Шарль Эрмит (1822–1901). В письме математику Томасу Яну Стилтьесу Эрмит утверждал:


Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективной реальности, а мы обнаруживаем, или открываем и исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи.

Многие математики XX в., несмотря на споры по поводу оснований, заняли ту же позицию. Создатель теории множеств и трансфинитных чисел Георг Кантор считал, что математики не изобретают понятия, и теоремы существуют независимо от человеческого мышления. Себя самого Кантор считал репортером и секретарем, записывающим эти понятия и теоремы.

Некоторые из приведенных выше высказываний принадлежат ученым двадцатого столетия, которых не очень беспокоили основания математики. Еще более удивительно, что и кое-кто из лидеров различных школ в основаниях математики, например Гильберт, Алонзо Чёрч и члены группы Бурбаки, утверждали, что математические понятия и свойства существуют в некотором объективном смысле и могут быть постигнуты человеческим разумом. Таким образом, математическую истину открывают, а не изобретают, и в результате открытия возникает не математика, а человеческое знание математики.

Все утверждения о существовании объективного, единого ядра математики ничего не говорит о том, где же находится математика. Они указывают лишь, что математика существует в некотором «потустороннем» мире, своего рода воздушном замке, а человек лишь открывает ее. Аксиомы и теоремы отнюдь не только творения человеческого разума – их скорее можно сравнить с сокровищами, скрытыми в недрах, которые можно извлечь на поверхность, если запастись терпением и копать все глубже и глубже. Но существование аксиом и теорем не зависит от человека, как не зависит от него, например, существование планет.

Иной точки зрения (согласно которой математика – это только продукт человеческого мышления) придерживаются интуиционисты. Это точка зрения восходит к Аристотелю. Однако если одни интуиционисты считают, что истина гарантируется разумом, то другие утверждают, что математика представляет собой не незыблемый свод непреложных знаний, а творение человеческого разума, которому свойственно ошибаться. (М. Клайн. с. 371–373)

Комментарий. В вопросе о зависимом или независимом от мышлении существования математических предметов мы придерживаемся той части интуиционистов, которые считают, что математика представляет собой не незыблемый свод непреложных знаний, а творение человеческого разума, которому свойственно ошибаться, заблуждаться. И эти заблуждения могут занимать короткие или длительные периоды в истории развития человечества.

Что касается употребления термина «существовать» в суждениях, то мы различаем манеру выражаться с использованием этого понятия, которое понятно само по себе, от существования математических предметов. Математический предмет же существует, если существует принцип порождения его – законный принцип порождения. (Вопрос о законности или незаконности в математических суждениях у нас занимает особое место). Принцип существования тесно связан с кванторами общности и существования и законами де Моргана, которые их связывают. Квантор общности, так сказать, – первичный, а квантор существования – вторичный. Только после принятия как законного принципа (квантора) общности ставится вопрос о законности или незаконности принципа существования – принятие законов де Моргана. Принятие законов де Моргана как законного приводит к принятию как законного принципа существования математического предмета. При этом доказать, что Не существует предмета, удовлетворяющего заданному свойству равносильно доказать, что Каждый предмет не удовлетворяет заданному свойству.

В вопросе существования аксиом и теорем наша точка зрения следующая. В суждениях, особенно касающихся основании математики, необходимо различать так называемые аксиомы, которые представляют собой условные соглашения, вводимые для удобства, от так называемых аксиом, представляющих собой априорные синтетические суждения. В первом случае удобно их просто называть аксиомами, во втором желателен другой термин. В первом случае аксиомы могут быть удобным инструментом для описания действительного мира в той или иной степени приближения, например, аксиомы евклидовой геометрии. А степень самого удобства теории зависит уже от умения выбирать первоначальные понятия и самих аксиом. Одни теории могут быть более удобными, другие менее удобны. Неудачный выбор первоначальных понятий зачастую приводит к непредикативным суждениям и осложняет выкладки. Умение удачно выбирать первоначальные понятия зависит от интеллекта, которому свойственно ошибаться и заблуждаться. Однако не всякая математическая теория обязана описывать реальную действительность. При особом желании можно придумать игру – теорию, которая вовсе не описывает никакую реальную действительность.

Одним из укоренившихся заблуждением является следующее обстоятельство. Сначала описывают все неопределяемые понятия и аксиомы теории, лишь затем приступают к доказательствам теорем. Такой подход в некотором смысле является проявлением дедуктивного подхода.

Необходимо сначала выбирать некоторые, так сказать, «обязательно» необходимые первоначальные понятия, сформулировать те аксиомы, которые характеризуют их, доказать необходимые теоремы. В процессе дальнейшего развития теории в некоторый момент сформулированных аксиом уже начинает нехватать для доказательства какого-то «обязательно» необходимого предложения. Тогда мы приходим к необходимости введения еще одной новой аксиомы. Формулируем ее и вводим нехватающие понятия и продолжаем суждения до тех пор, пока не потребуется снова новая аксиома. Такую процедуру можно продолжать столько раз, сколько раз она необходима. Такой подход в некотором смысле является проявлением индуктивного подхода. Конец комментария.

Оглавление [9]

Глава 1.

1.6. Проблема приемлемости и неприемлемости математических суждений Править

Оглавление [10]

Глава 1. Математические абстракции могут быть приемлемыми для одних математиков, в то время как они уже не будут приемлемыми для других.

Например, Аксиома выбора Цермело и принцип вполне упорядочения, который вытекает из этой аксиомы, вызвали в начале 20 века ожесточенные споры между крупнейшими математиками того времени.

Единых критериев, по которым можно было бы судить о приемлемости или неприемлемости того или иного математического предмета, по-видимому, нет, и навряд ли такой критерий будет выработан и в будущем, пригодный раз и навсегда на все случаи жизни.

Приемлемость или неприемлемость того или иного математического суждения должна решаться всякий раз применительно к конкретной ситуации. И одним из основных вопросов, по нашему мнению, который должен ставиться и решаться наряду с другими вопросами при обосновании математики, это должен быть вопрос о приемлемости или неприемлемости того или иного суждения в математике.

Вот как говорит об этом Драгалин А. Г. при комментировании работ Г. Вейля «Порочный круг в современном обосновании анализа» и «Математика и логика»:

«И еще несколько слов относительно древнего спора о том, что фундаментальнее, логика или математика, конструкция или логическая истина, знаменитого спора трех школ в основаниях математики – логицизма, формализма и интуиционизма. Этот спор сейчас кажется не актуальным. Мы, вероятно, яснее, чем это было в начале века, понимаем сложную взаимосвязь объекта исследования и способа рассуждения о нем, всю невозможность отделить логическое от конструктивного. Сейчас на первый план выдвигается проблема приемлемости математического рассуждения, вопрос о соотнесении математического утверждения с реальностью. И можно восхищаться гением Вейля, более шестидесяти лет назад ясно указавшего на важность изучения именно этих аспектов в обосновании математики. К трудностям, успехам и исканиям в этой области знания не останутся равнодушными математики, не безразлично, что означают их усилия в развитии науки в плане всего человеческого существования, исполненного творческого познания, страданий и творчества» (Драгалин А. Г., с. 460).

К суждениям, против приемлемости которых в обосновании математики возражал А. Пуанкаре и другие крупнейшие математики в начале 20 века, относятся непредикативные определения, суждения, которые содержат в себе порочный круг. Однако в математике могут встречаться суждения и другого рода, суждения, с виду являющиеся предикативными, не содержащие в себе порочного круга, но приемлемость которых нельзя будет считать законной.

Например, когда мы осуществляем мыслительный процесс в определенной ситуации, наше внимание фиксирует существенные для нас свойства исходных объектов, в то время как другие отношения и свойства рассматриваем как несущественные. В связи с этим может возникнуть вопрос, действительно ли всегда законно происходит выделение существенных и несущественных сторон рассматриваемого объекта?

При постановке такого вопроса нельзя ожидать единодушного однозначного ответа от всех мыслителей. Даже один и тот мыслитель в разные периоды своей жизни может быть склонен к различным ответам.

Таким образом, для нас представляется особо важной, кроме прочего, проблемы приемлемости и неприемлемости математических суждений.

В работе обсуждаем вопросы приемлемости и неприемлемости рассматриваемых суждений. В дальнейшем нами будут употребляться и термины правомерность или неправомерность, законность или незаконность как синонимы соответственно терминов приемлемость или неприемлемость.

Оглавление [11]

Глава 1.


1.7. Число. Проблема бесконечности натуральных чисел Править

Оглавление [12]

Глава 1.

Число – основное понятие математики, абстрагировавшееся в ходе длительного исторического развития человечества. Многочисленные попытки определить «число» к особому успеху не приводили. Мы также не ставим своей целью определить это понятие. Мы только подчеркиваем, что для этой цели необходимо осуществлять длительные разъяснения. Мы ставим своей целью дать некоторый ответ на вопрос: Как складывается в сознании человека понятие бесконечности натуральных чисел?

«Мы часто просто не отдаем себе отчет в том, насколько сложную процедуру представляет счет. На первый взгляд, – пишет Леви Конант, – кажется совершенно немыслимым, чтобы какое-то человеческое существо могло быть лишено способности считать дальше двух. Однако на самом деле это вполне возможно: известно несколько языков, в которых вообще отсутствуют числительные.

Счёт – это достижение достаточно развитой цивилизации, и способность к счету не является врожденной ни для людей, ни для животных.

Тем более удивительно, что человек, а также некоторые птицы и насекомые обладают определенным «чувством числа», позволяющим им оценивать размер совокупности, содержащей не более четырех - пяти объектов, не прибегая к счету.

Лихтенберг давал своему соловью три червяка в день, каждый раз по одному, и обнаружил, что после третьего червяка соловей «понимал», что его больше кормить не будут. Способность замечать разницу между тремя и четырьмя, но не между четырьмя и пятью, проявляют вороны, а осы обладают необъяснимой способностью чувствовать, какое число личинок выделяют они на питание своему потомству.

Однако Умный Ганс – лошадь, умеющая считать – такой способностью не обладал.» (Д. Мичи, Р. Джонстон. Компьютер творец, Мир, М.: 1987, с. 10).

Оглавление [13] Глава 1.


1.8. Математическая индукция. Анри Пуанкаре о математической индукции Править

Предоставим слово самому Анри Пуанкаре:

Для поверхностного наблюдателя научная истина не оставляет места никаким сомнениям: логика науки непогрешима, и если ученые иногда ошибаются, то это потому, что они забывают логические правила.

Математические истины выводятся из небольшого числа очевидных предложений при помощи цепи непогрешимых рассуждений: эти истины присущи не только нам, но и самой природе. Они, так сказать, ставят границы свобод творца и позволяют ему делать выбор только между несколькими относительно немногочисленными решениями. Тогда нескольких опытов будет достаточно, чтобы раскрыть нам, какой выбор им сделан. Из каждого опыта с помощью ряда математических дедукций можно вывести множество следствий, и таким образом каждый из них позволит нам познать некоторый уголок вселенной.

Вот в таком виде представляется широкой публике происхождение научной достоверности. Так они понимают роль опыта и математики.

… Какова природа умозаключения в математике? Действительно она дедуктивна, как думают обыкновенно?

Более глубокий анализ показывает нам, что это не так, – что в известной мере ей свойственна природа индуктивного умозаключения и потому-то она столь плодотворна. Но от этого она не теряет своего характера абсолютной строгости, что и прежде всего мы и покажем (Пуанкаре, 1902, с. 7–8).

Далее, Анри Пуанкаре приводит примеры доказательств на основе математической индукции и продолжает: Здесь я прерываю этот монотонный ряд рассуждений. Но именно эта монотонность и способствовала лучшему выделению того однообразного процесса, который мы находим на каждом шагу. Этот процесс есть доказательство путем рекурренции:

Сначала формулируется теорема для n =1; потом доказывается, что если она справедлива для n –1, то она справедлива и для n, и отсюда выводится заключение о справедливости ее для всех целых чисел.

В каждом шаге, если его хорошенько рассмотреть, мы находим этот способ рассуждений – или в той простой форме, которую мы только что ему придумали, или форме более или менее видоизмененной.

В нем, следовательно, по преимуществу заключается математическое рассуждение, и нам следует изучить его ближе.

Существенная черта умозаключения путем рекурренции заключается в том, что оно содержит в себе бесчисленное множество силлогизмов, сосредоточенных, так сказать, в одной формуле.

Чтобы лучше можно было себе это уяснить, я сейчас расположу эти силлогизмы один за другим в виде некоторого каскада. Это, в сущности, – гипотетические силлогизмы.

Теорема верна для числа n =1. Если же она справедлива для 1, то она справедлива для 2. Следовательно, она верна для 2.

Если же она верна для 2, то она верна для 3. Следовательно, она верна для 3.

И т.д.

Очевидно, что заключение каждого силлогизма служит следующему меньшей посылкой.

Большие посылки всех наших силлогизмов могут быть приведены к одной формуле: Если теорема справедлива для n–1, то она справедлива для n.

Таким образом, очевидно, что в рассуждении путем рекурренции ограничиваются выражением меньшой посылки первого силлогизма и общей формулы, которая в виде частных случаев содержит в себе все большие посылки.

Этот никогда не оканчивающийся ряд силлогизмов оказывается приведенным к одной фразе в несколько строк.

… Шахматный игрок может рассчитывать вперед четыре, пять ходов, но, каким бы необыкновенным его ни представляли, он всегда предусмотрит только конечное число ходов. Если он применит свои способности к арифметике, то он не будет в состоянии подметить в ней общих истин путем одной непосредственной интуиции. Он не будет в состоянии обойтись без помощи рассуждения путем рекурренции при доказательстве самой незначительной теоремы, ибо это и есть то орудие, которое позволяет переходить от конечного к бесконечному.

Это орудие всегда полезно, ибо оно позволяет нам сразу пройти любое число ступеней и избавляет нас от долгих, скучных и однообразных проверок, которые скоро стали бы практически невыполнимыми. Но оно делается неизбежным, раз мы имеем в виду общую теорему, к которой аналитическая проверка нас непрерывно приближало бы, никогда не позволяя ее достигнуть.

Комментарий. В данном случае мы сказали бы, используя термин Анри Пуанкаре: Аналитическая проверка нас непрерывно приближала бы к общей теореме, никогда не позволяя ее достигнуть. И мы были бы перед выбором принять или отказать в правомерности указанного орудия, которое позволило бы нам сразу пройти любое число ступеней общей теоремы, а последнее обстоятельство в свою очередь зависело бы от той общей теоремы, все ступени которой собираемся достигнуть.

Таким образом, принцип математической индукции, как и другие принципы, не носит универсального характера. Конец комментария.

… Суждение, на котором основан способ рекурренций, может быть изложено в других формах.

Почему же это суждение стоит перед нами с непреодолимой очевидностью?

Здесь сказывается только утверждение могущества разума, который способен постичь бесконечное повторение одного и того же акта, раз этот акт оказался возможным однажды. В силу этого могущества разум обладает непосредственной интуицией, а опыт может быть для него только поводом воспользоваться ею и осознать её.

Нельзя не признать, что здесь существует поразительная аналогия с обычными способами индукции. Однако есть и существенное различие. Индукция, применяемая в физических науках, всегда недостоверна, потому что она опирается на веру во всеобщий порядок Вселенной – порядок, который находится вне нас.

Индукция математическая, т.е. доказательство путем рекурренции, напротив, представляется с необходимостью, потому что она есть только утверждение одного из свойств самого разума.

Мы можем подняться выше только благодаря математической индукции, которая одна может научить нас чему-либо новому. Без помощи такой индукции, отличной в известных отношениях от индукции физической, но столько же плодотворной, как и последняя, процесс конструирования был бы бессилен создать науку.

Заметим, наконец, что эта индукция возможна только тогда, когда одна и та же операция может повторяться бесконечное число раз. Вот причина, почему теория шахматной игры никогда не может стать наукой; там различные ходы одной и той же партии не похожи друг на друга (Пуанкаре, с. 16–21).

… Это философы правы в одном смысле: для того чтобы создать арифметику, как и для того чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова интуиция.

Но сколько различных идей скрывается под одним и тем же словом? Сравним четыре аксиомы:

1) Две величины, равные третьей, равны между собой.

2) Если теорема справедлива для 1 и если доказывается, что она справедлива для n + 1, когда справедлива для n, то она будет справедлива для всех целых чисел.

3) Если точка C лежит на прямой между A и B, а точка D лежит между A и C, то точка D будет лежать между A и B.

4) Через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Все четыре аксиомы должны быть приписаны интуиции, и, однако же, первая является выражением одного из правил формальной логики; вторая – настоящее n'синтетическое суждение'n à priori. Это – основание строгой математической индукции; третья есть обращение к воображению; четвертая – скрытое определение (А. Пуанкаре. Интуиция и логика в математике, с. 163).

В одной из глав «Науки и гипотезы» я имел случай исследовать природу математического умозаключения; я показал, как это умозаключение, не переставая быть безусловно строгим, могло поднимать нас от частного к общему при помощи процесса, который я назвал математической индукцией.

Благодаря этому-то процессу аналитики и двигали вперед науку и если разобраться в самых деталях их доказательств, то можно в любой момент найти его там рядом с классическим силлогизмом Аристотеля.

Комментарий. Для нас математическая индукция является обобщением классического силлогизма Аристотеля на бесконечномерный случай, которые символически могут быть записаны соответственно в формах

,     ,  ...    .

Для нас нет математики без логики, и нет логики без математики. Они неразрывно тесно связаны. Их необходимо развивать параллельно. Конец комментария.

В последние годы появилось много трудов, посвященных чистой математике и философии математики, имевших своей задачей выделить и изолировать логические элементы математического рассуждения. Эти труды были ясно изложены и исследованы в работе Кутюра, озаглавленной: «Основания математических наук».

По мнению Кутюра, новейшие труды, в особенности работы Рассела и Пеано, окончательно разрешили давний спор между Лейбницем и Кантом. Они показали, что не существует синтетического априорного суждения (этим именем Кант называл суждения, которые не могут быть ни доказаны аналитически, ни сведены к тождествам, ни установлены экспериментально).

Они показали, что математические науки целиком могут быть сведены к логике, и что интуиция не играет в них никакой роли.

Можем ли подписаться под этим решительным приговором?

Я этого не думаю и постараюсь ниже показать, почему я этого не думаю (Анри Пуанкаре. Наука и Метод, с. 370).

Комментарий. Как метод математической индукции, так и классический силлогизм Аристотеля, закон исключенного третьего, закон двойного отрицания, законы отрицания конъюнкции и дизъюнкции, законы де Моргана, и т.д. для нас являются априорными синтетическими суждениями в содержательном их понимании в том смысле, что они не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты, они не являются условными соглашениями Пуанкаре. Они являются лишь подтверждением одного из свойств самого разума, утверждениями могущества разума.

В таковом смысле у нас нет резкой границы между содержательной математикой и содержательной логикой. Их следует развивать параллельно.

Однако от содержательной логики мы различаем так называемую формальную логику, которая с нашей точки зрения является некоторым разделом, некоторой частью математики. Если законы содержательной математики не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты, то законы формальной логики для нас являются условными соглашениями Пуанкаре, они могут быть доказаны, например, методом истинностных таблиц.

Таким образом, мы отличаем содержательную математику от формальной, хотя эти термины сами по себе ничего многого и не означают. И считаем, что обоснование математики необходимо искать не в каком-то формальном или каком-то ином изложении, как иные думают, а именно в содержательном его изложении. Конец комментария.

… И вот я хочу исследовать, можно ли, приняв однажды принципы логики, я уж не говорю открыть, но даже доказать все математические истины, не прибегая снова к интуиции?

На этот вопрос я однажды уже дал отрицательный ответ. Должен ли я этот ответ изменить ввиду появившихся новых трудов? Если я в то время ответил отрицательно, то это потому, что принцип совершенной индукции казался мне, с одной стороны, необходимым для математика, а с другой стороны, не сводимым к логике.

В этом я по преимуществу видел математическое суждение. Я не хотел этим сказать, как некоторые это думали, что все математические суждения могут быть сведены к приложению этого принципа.

Исследуя эти суждения ближе, можно заметить, что в них применяются многие другие аналогичные принципы, обладающие теми же существенными признаками. В их ряду принцип полной индукции является лишь простейшим, и вот почему я остановился на нём как типичном (Пуанкаре, Математика и Логика, с. 372).

Комментарий. Нам неизвестно, какие аналогичные принципы индукции имеет в виду Анри Пуанкаре. По крайней мере мы не нашли в его четырех философских книгах формулировки указанных принципов.

Однако нами осознано, что кроме принципа математической индукции, при построениях необходимы и другие более сильные принципы индукции, например, как принцип континуальной индукции и принцип континуального существования при построении действительных чисел. Конец комментария

Везде мы видим роль интуиции и обобщающего ума, без которых эти, если мне позволено будет так выразиться, три вида математиков были осуждены на одинаковые бессилие.

Но и в области доказательства логика еще не представляет всего. Настоящее математическое рассуждение есть настоящая индукция, во многих отношениях отличная от индукции физической, но, как и оно, идущая от частных к общему. Все усилия, направленные на то, чтобы опрокинуть этот порядок и свести математическую индукцию к правилам логики, закончились без успеха, и эту неудачу трудно скрыть под маской особого языка, недоступного профанам (Анри Пуанкаре. Наука и Метод, с. 402–403).

Оглавление [14]

Глава 1.


1.9. Логицизм об обосновании математики. Морис Клайн о логицизме Править

Открытие парадоксов теории множеств и осознание того, что аналогичные парадоксы могут встретиться и в уже существующей классической математике, заставил математиков всерьез заняться проблемой непротиворечивости. Еще до начала XX в. было провозглашено и даже разработано несколько радикально новых подходов к математике. Но поскольку они до времени оставались в тени, большинство математиков не восприняли их всерьез. Однако в первые десятилетия XX в. в битву за новые подходы к математике вступили гиганты. Они разделились на враждующие лагери и вступили в открытое противоборство.

Одно из направлений получило название «логистическая школа». Если не вдаваться в подробности, то основной тезис логицистов сводится к утверждению, что

математика полностью может быть выведена из логики.

В начале XX в. большинство математиков видели в законах логики незыблемые, вечные истины. Но если законы логики истинны, рассуждали логицисты, то истинна и сама математика. А поскольку истина непротиворечива, продолжали они, то математика также должна быть непротиворечивой.

За осуществление основного тезиса логицизма принялся находившийся под влиянием идей Дедекинда Готлоб Фреге, который внес немалый вклад в развитие математической логики.

Известна история о том, что как раз в то время, когда Фреге завершил работу над вторым томом «Основных законов арифметики» (1902), он получил (такова ирония судьбы!) письмо от Бертрана Рассела. В этом письме Рассел писал, что, к сожалению, Фреге использовал в своем труде понятие (множество всех множеств), применение которого недопустимо, ибо оно приводит к противоречию. В конце второго тома Фреге отметил: «Вряд ли с ученым может приключиться что-нибудь худшее, чем, если у него из-под ног выбьют почву в тот самый момент, когда он завершит свой труд. Именно в таком положении оказался я, получив письмо от Бертрана Рассела, когда моя работа уже была почти закончена». Фреге ничего не знал о парадоксах, обнаруженных за то время, пока он писал свою книгу.

Бертран Рассел независимо наметил ту же программу и, работая над ее осуществлением, узнал о работах Фреге.

В «Принципах математики» (1903) Рассел говорит прямо: «Тот факт, что вся математика есть не что иное, как символическая логика, – величайшее открытие нашего века».

В начале XX в. Рассел, как и Фреге, надеялся, что если фундаментальные законы математики удастся вывести из логики, то математические законы также окажутся истинными – и тем самым проблема непротиворечивости будет разрешена.

Многие годы Рассел считал, что принципы логики и объекты математического знания существуют независимо от разума и лишь воспринимаются разумом. Знание объективно и неизменно. Свою позицию Рассел ясно изложил в книге «Проблемы философии» (1912).

Когда дело касалось проблемы истины в математике, Рассел готов был пойти еще дальше, чем Фреге. В юности Рассел был убежден, что математика служит источником истин о реальном мире (М. Клайн, с. 251–255).

Комментарий. Мы исходим из того факта, что перед тем как начинать строить математическую теорию, мы умеем размышлять, рассуждать, абстрагироваться до той или иной степени. Кроме того, мы исходим из того, что вопрос о том, как мы размышляем, как абстрагируемся, не может быть описан точно, однако это описание можно осуществить до той или иной степени приближенно. Правила вывода и законы логики именно и являются тем приближенным описанием Нашего мышления. Мы новых правил и законов не открываем, – они открыты давно многими мыслителями от Аристотеля и далее. Мы имеем в виду правила вывода и законы классической логики

, и т.д.

Эти законы известны, и нам нет необходимости заново их описывать.

Таком образом, правила вывода и законы классической логики для нас являются приближенным описанием нашего мышления, и с этой точки зрения они не требуют ни доказательства, ни опровержения. Если бы мы их захотели доказывать, или опровергать, нам необходимо было обращаться к нашему мышлению, т.е. снова к этим правилам и законам.

Однако от такого понимания логических законов мы отличаем правила вывода и законы так называемой формальной логики, которые также записываются указанными способами и которые могут быть доказаны, например, методом истинностных таблиц. Формальная логика для нас является одной из математических теорией, которая должна строиться на тех же принципах, что и другие математические теории. Вопросы формальной логики нас не занимают.

Итак, правила вывода и законы классической логики (в своей совокупности) для нас является приближенным описанием человеческого мышления (из-за неимения другого лучшего).

Однако указанные правила и законы для нас не носят универсального характера. Что это значит?

В них имеются переменные p, q, …, символ выводится , которые обозначают соответственно высказывания и отношение выводится. Мы исходим из того, что все высказывания и все отношения выводится в математике не могут быть построены раз и навсегда. Они не существуют вне мышления человека.

(Они построены раз и навсегда теми мыслителями, для которых математические предметы существуют до и независимо от мышления человека. Для последних законы логики и носят универсальный характер.)

Как раз при построении определенной математической теории нам предстоит построить попутно и ее высказывания и отношения «выводится», для которых и были бы применимы правила вывода и законы логики.

Оглавление [15]

Глава 1.


1.10. Теория «Парадокс Лжеца», или пример теории, где нет ни одного высказывания.Возможность существования бессмысленных предложений математических теорий Править

Как известно, под высказыванием понимают предложение, к которому можно придать логическое значение, именно или логическое значение истина, или логическое значение ложь.

Некто говорит: Я лгу. Теперь перед нами встает вопрос, на самом ли деле он лжет, или говорит правду?

Прежде чем ответить на возникший вопрос, нам необходимо ответить и на вопрос, в какой теории он лжет, а в какой теории он говорит правду?

Не теряя общности, можно предположить, что наша теория состоит лишь из одного единственного сказанного Некто предложения Я лгу, и при этом правила вывода и законы классической логики выполняются, вернее, мы умеем размышлять. Положим p = я лгу, q = я не лгу. Из смысла самого сказанного предложения очевидно вытекают:

Из p выводится q, из q выводится p, отрицание p есть q, отрицание q есть p.

Если теперь допустить, что Некто действительно лжет, то по смыслу сказанного им предложения выходит, что он говорит правду, а из последнего, в свою очередь, снова выходит, что он говорит ложь. Т.е. он лжет и говорит правду одновременно.

А если же допустить, что Некто говорит правду, то теперь по смыслу предложения выходит, что он лжет, а из последнего снова выходит, что он говорит правду. Т.е. снова он говорит правду и лжет одновременно. Получаем противоречивую теорию. Приведенные суждения носят название «Парадокса Лжеца».

Теперь перед нами встает вопрос, какие же нами были допущены нарушения в наших суждениях, что они привели нас к парадоксальной ситуации, и какой же выход из создавшейся ситуации?

Разрешение парадокса. В литературе приведены много разных вариантов разрешения парадокса. Мы здесь описываем свою собственную точку зрения. Если внимательно присмотреться к нашим суждениям, то мы замечаем, что к противоречию мы приходим лишь в двух случаях:

1) Если допускаем, что сказанное Некто есть ложь. 2) Если допускаем, что сказанное Некто есть истина.

В остальных случаях к противоречию не приходим. Однако остальные случаи «запрещает» закон исключенного третьего, который гласит: Всякое предложение либо истинно, либо ложно, третьего не дано.

Эти суждения приводят к выводу, что закон исключенного третьего в приведенной форме не правомерен. Приходится допускать предложения, которые не имеют ни логического значения истина, ни логического значения ложь. Какие же тогда они имеют значения? – Они не имеют логического значения, они бессмысленны. Теперь для разрешения парадокса остается:

Сказанное Некто предложение не имеет никакого логического значения вовсе.

Тогда встает новый вопрос, а как же быть в таком случае с логическим законом исключенного третьего? Выход состоит в том, что: Логический закон исключенного третьего (и другие законы) не применимы к бессмысленным предложениям.

А возможно и допускать, что логические законы, вернее, операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции применимы и к бессмысленным предложениям, но при этом в результате снова будут получаться бессмысленные предложения. Например, предложение либо я лгу, либо я не лгу не имеет смысла, так как оба компонента его взятые порознь не имеют логических значений, хотя логический закон исключенного третьего, казалось бы, приписывает этому предложению значение истина.

Теперь может встать законный вопрос, а как же различать осмысленные предложения от бессмысленных?

Ответ: В дальнейшем указываются некоторые принципы, нарушения которых приводит к предложениям, лишенным смысла. Однако нет единого правила, годного для всех случаев жизни. Каждое осмысленное предложение рассматриваемой теории необходимо строить разумом человека на основе какого-нибудь орудия, средства построения математических предметов. Нет царских путей в математике!

Мы построили теорию, одно единственное предложение которой бессмысленно, и мы вправе допустить, что все правила вывода и законы логики справедливы в нашей теории (т.е. мы умеем рассуждать), но нам, право, нечего выводить, и нечего доказывать. У нас нет высказываний!

Вот в таком русле понимается универсальность или неуниверсальность правил и законов логики: они применяются лишь к тем объектам, которые уже построены и которым приписаны логические значения.

Природа появления бессмысленного предложения в приведенном примере основана на применении в суждениях порочных кругов. – В наших суждениях логическое значение предложения «я лгу» мы выводили, опираясь на смысл самого предложения «я лгу». Налицо порочный круг.

Читатель вправе спросить, а какой прок от таковой теории, которая состоит лишь из одного предложения, притом бессмысленного?

Ответ: Имеет большой прок, имеет большой прок для психологии человеческого духа. Он открывает нам глаза на возможность теорий, где могут встречаться предложения, не имеющие логических значений. И ими могут оказаться как раз те наши любимые теоремы классической математики. И кто нам даст гарантию, что мы не доказали бессмысленную теорему?!

Если читатель осознает правомерность выше приведенного разрешения парадокса, то он вынужден будет осознать и то, что могут иметься математические теории, где могут встречаться предложения (теоремы), не имеющие смысла.

Оглавление [16]

Глава 1.

1.11. Проблема выяснения сути бесконечности. Давид Гильберт о бесконечном Править

(В кн.: Гильберт Д. Основания геометрии. М–Л: – Огиз. 1948). Доклад прочитан 4 июня 1925г. на съезде математиков, организованном вестфальским математическим обществом, в Мюнхене в память Вейерштрасса.

Вейерштрасс своей критикой, которую проводил с мастерской остротой, положил твердые основания математического анализа. Если теперь в последовательности умозаключений, которые основаны на понятии иррационального числа и вообще предела, царит полное единодушие и уверенность, если, несмотря на самые смелые и многообразные результаты, несмотря на нагромождение и перекрещивание пределов, все же имеется совпадение всех результатов, то это – существенная заслуга научной деятельности Вейерштрасса.

Однако обоснованием, данным анализу бесконечно малых Вейерштрассом, дискуссия об основах анализа не закончилась.

Причина этого лежит в том, что значение бесконечного для математики еще не выяснено до конца. Правда, бесконечно малое и бесконечно большое были из анализа Вейерштрасса исключены тем, что высказывания, относящиеся к этим понятиям, были сведены к соотношениям между конечными величинами. Но бесконечное все же выступает снова в бесконечных числовых последовательностях, определяющих действительное число, и затем в понятии системы действительных чисел, которая воспринимается точно так, как предстоящая перед нами готовая и законченная совокупность.

Формы логических умозаключений, в которых выражается эта трактовка, – когда, например, идет речь о всех действительных числах, обладающих известным свойством, или о том, что существуют действительные числа, обладающие известным свойством, – суть как раз те формы, к которым неограниченно обращаются в вейершрассовском обосновании анализа и которые применяют, постоянно повторяя.

Благодаря этому бесконечное сумело снова в прикрытом виде пробраться в теорию Вейерштрасса, не будучи задето остротой его критики. Отсюда следует, что

проблема бесконечного и есть как раз то, что нам в указанном смысле необходимо еще выяснять до конца.

...С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном. Бесконечное действовало на разум столь же побуждающе и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая идея. Однако ни одно другое понятие не нуждается так сильно в разъяснении, как бесконечность.

Бесконечное в нашем мышлении занимает полноправное место и является необходимым понятием. Мы посмотрим, как с этим обстоит дело в математической науке, и первым делом спросим чистейшее и наивнейшее дитя человеческого духа – теорию чисел. Из имеющейся здесь богатой совокупности элементарных формул возьмем какую-либо одну, например: 12 + 22 + 32 + ... + n2 = . Так как мы можем подставить в нее вместо n какое-либо число, например, положить n = 2 или n = 5, то эта формула содержит бесчисленное множество высказываний. В этом, очевидно, заключается ее суть, благодаря чему только она и представляет решение арифметической проблемы и требует собственно доказательства, между тем как ее частные числовые равенства могут быть проверены с помощью вычислений, и поэтому в отдельности не представляют, по существу, никакого интереса.

Мы подошли теперь к анализу, этой искуснейшей и тончайшим образом разветвленной отрасли математических наук. Вы сами знаете, какую ведущую роль играет там бесконечность. Математический анализ можно в известном смысле назвать единой симфонией бесконечного.

Однако сам анализ еще не ведет нас к глубочайшему проникновению в сущность бесконечного. Такому проникновению гораздо больше способствует дисциплина, которая ближе к общефилософским приемам мышления и которая была призвана опять, уже в новом свете, поставить весь комплекс вопросов, касающихся бесконечного. Этой дисциплиной является теория множеств, создателем которой был Георг Кантор. Здесь мы рассмотрим только то, поистине единственное в своем роде и оригинальное, что составляет собственно ядро канторовского учения, – его теорию трансфинитных чисел. Она представляется мне наиболее заслуживающим удивления цветком математического духа и вообще одним из высших достижений чисто умственной деятельности человека. Что же это такое? ...

Кантор в соответствии с этим ходом мыслей успешно построил теорию трансфинитных чисел и создал для них полное исчисление. Итак, в конце концов, благодаря гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора бесконечное было возведено на трон и наслаждалось временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своем дерзком полете достигло головокружительной высоты успеха.

Но реакция не заставила себя ждать: она разыгралась очень драматически. Произошло нечто, аналогичное тому, что случилось при развитии исчисления бесконечно малых. На радостях по поводу новых богатых результатов стали явным образом недостаточно критически относиться к законности умозаключений. Поэтому уже при простом образовании понятий и применении умозаключений, постепенно ставших обычными, выявились противоречия, сначала единичные, а затем все более серьезные: так называемые парадоксы теории множеств. В особенности это относится к противоречию, найденному Цермело и Расселом, опубликование которого оказало на математический мир прямо-таки катастрофическое действие. Перед лицом этих парадоксов Дедекинд и Фреге фактически отказались от своей точки зрения и очистили поле битвы: И на учение Кантора с различных сторон были произведены бурные нападки. Контрдвижение было столь стремительно, что общеупотребительные и плодотворнейшие понятия математики, простейшие и важнейшие ее умозаключения оказались под угрозой, и применение их должно быть запрещено. Правда, не было недостатка и в защитниках старого. Но мероприятия защиты были очень слабы, и они не были направлены единым фронтом в нужную сторону. Лекарств против парадоксов рекомендовали слишком много, методы объяснений были слишком разнообразны.

Надо согласиться, что состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике – этом образце достоверности и истинности – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводит к нелепостям. Где же искать надежность и истинность, если даже математическое мышление дает осечку? ...

А содержательные логические выводы, когда мы их применяли к действительным вещам или событиям, – разве они нас где-либо обманывали и где-либо нам изменяли? Нет, – содержательное логическое мышление необходимо. Оно нас обманывало только тогда, когда мы принимаем произвольные абстрактные способы образования понятий. Мы в этом случае как раз недозволенно применяли содержательные выводы, т.е. мы, очевидно, не обратили внимания на предпосылки, необходимые для применения содержательного вывода. В признании того, что такие предпосылки имеются и должны приниматься во внимание, мы согласны с философами, особенно с Кантом. Уже Кант учил, – и это составляет существенную часть его учения, – что математика обладает не зависящим от всякой логики устойчивым содержанием, и потому она никогда не может быть обоснована только с помощью логики, вследствие чего, между прочим, стремления Дедекинда и Фреге должны были потерпеть крушение. ...

Оглавление [17]

Глава 1.

1.12. Априорные синтетические суждения и условные соглашения Анри Пуанкаре. Априорные суждения на основе Modus ponens и на основе математической индукции Править

Человеческому мышлению присущи различного рода абстракции – суждения. Точно охарактеризовать мы их не в состоянии. Однако, при обосновании математики (да и в других случаях) необходимо уметь выделять некоторые типы абстракций, дабы не впадать в противоречие при этом. Анри Пуанкаре выделяет суждения, которые отмечены в заголовке. Разъяснение поставленного вопроса осложняется не только тем обстоятельством, что поднятая проблема сложна сама по себе, но и тем обстоятельством, что термины, которые применяем при этом, не определяемы и не общеприняты. Наше понимание проблемы опишем на примерах.

Пример 1. Явление 1. Мышлению человека присуще умение отличать присутствие предметов от их отсутствия. Вот эта способность разума не является условным соглашением. Она представляет собой нечто иное. Вот это нечто иное, чтобы отличить от условного соглашения и из-за неимения лучшего, передаем термином априорное синтетическое суждение. Таким образом, этот термин характеризует способность разума.

А вот то обстоятельство, что явлению отсутствия предметов придаем "числовой характер", "статус числа", т.е. даем имя, обозначаем на письме (имя ноль, обозначаем цифрой 0) и т.д., уже является условным соглашением.

А вот, в свою очередь, осознание удобства условного соглашения о нуле, также не является условным соглашением. Его необходимо отнести к способности разума, следовательно, оно является априорным синтетическим суждением.

То обстоятельство, что число ноль в историческом плане появилось гораздо позже других натуральных чисел, говорит о том, что это осознание удобства условного соглашения о нуле было трудным процессом для мышления человека, и должно было пройти несколько столетий, а то и тысячелетий, пока человечество не осознало последнее обстоятельство.

Явление 2. Мышлению человека присуще не только умение отличать отсутствие предмета от его присутствия, но и умение дифференцировать (расчленять, различать, выделять) единичные, штучные предметы из группы предметов. Вот это умение разума также не является условным соглашением, а является априорным синтетическим суждением.

Условным соглашением является то обстоятельство, что этому явлению мы придаем численный характер: даем имя, обозначение на письме.

Осознание удобства условного соглашения о единице также не является условным соглашением.

Явление 3. Разуму человека присуще не только умение отличать отсутствие предмета от его присутствия, не только умение выделять единичные предметы из группы предметов, но и умение выделять единым взором пару предметов из группы предметов. Последнее явление также не является условным соглашением.

Примечание. Явления 1, 2, 3 настолько естественны, настолько привычны для человека, что для подавляющей части человечества вовсе не приходит в голову вообще ставит такого рода вопросы. Условные соглашения о натуральных числах также настолько удобны, настолько естественны, что человек не представляет себя без них и считает, что они существуют независимо от его мышления.

Пример 2. Разуму человека присущи не только явления 1, 2, 3, но присуще и умение считать предметы, ну скажем, до пяти или до десяти. Умение считать предметы не является для человека врожденным, оно приобретается в процессе обучения, воспитания. Таким образом, умение считать является более сложной абстракцией по сравнению с явлениями 1, 2, 3, взятых по отдельности. Теперь возникает вопрос, умение считать – это условное соглашение, или нечто другое? Как видит читатель, вопрос достаточно сложный. Тем не менее, мы склонны считать, что умение считать – это априорное синтетическое суждение, а сам процесс счета, при котором определенная последовательность слов (разные имена чисел на разных языках) всегда произносится в одном и том же порядке, уже является условным соглашением. И это "условное соглашение" человечество приобретало в процессе длительного исторического развития, "осознавало удобство процесса счета".

Пример 3. Допустим, что два заурядных мудреца ведут немудреные суждения:

Первый мудрец. Если солнце светит ярко, то обычно на улице бывает тепло. Сейчас солнце светит ярко. Ваш вывод? Второй мудрец. Вывод – сейчас на улице тепло.

Первый мудрец. Если солнце светит ярко, то обычно на улице бывает тепло. Однако сейчас на улице холодно. Второй мудрец. Вывод – солнце не светит ярко, иначе на улице было б тепло.

Первый мудрец. Сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна квадрату гипотенузы. Катеты треугольника равны соответственно 3 и 4. Второй мудрец. Квадрат гипотенузы равен 25.

Первый мудрец. Стороны треугольника равны соответственно 3, 4, 6. Ваш вывод. Второй мудрец. Треугольник не является прямоугольным.

Очевидно, читатель не оспаривает выводы, осуществленные вторым мудрецом. Однако можно представить себе "мудреца", которому было б не под силу сделать соответствующие умозаключения, что говорит о том, что эти выводы не являются условными соглашениями, а являются априорными синтетическими суждениями. Эти выводы основаны исключительно на способности разума.

Пример 4. Мудрецы продолжают суждения.

Первый мудрец. Если студент на сессии все экзамены сдает на отлично, то ему выплачивают повышенную стипендию. Студенту Сидорову выплачивают повышенную стипендию. Второй мудрец. Студент Сидоров все экзамены сдал на отлично.

Первый мудрец. Студенту Иванову не выплачивают повышенную стипендию. Второй мудрец. Студент Иванов не все экзамены сдал на отлично, т.е. он некоторые экзамены сдал не на отлично.

Выводы второго мудреца в примере 3 основаны на Аристотелевых правилах вывода, на так называемых Modus ponens, а в примере 4 – кроме указанных правил и на логических законах, на законах де Моргана. Эту способность разума делать выводы мы не в состоянии точно описать, они описаны приближенно Аристотелем и носить название Аристотелевой логики.

Выводы, основанные исключительно на способности разума, но без привлечения принципа математической индукции, допуская вольность речи, называем выводами, основанными на Modus ponens, кратко MP (ради удобства выражаться, хотя последний термин и был зарезервирован Аристотелем для другой цели).

Пример 5. Учитель ставит своей целью убедить учащихся в справедливости формулы

2 + 4 + 6 + … + (2n) = n (n + 1) для каждого натурального числа n =1, 2, 3, ... Учитель. Переменную n заменяет числами 1, 2, 3, 4, 5 и записывает на доске последовательность равенств:

2 = 1 * 2

2 + 4 = 2 * 3

2 + 4 + 6 = 3 * 4

2 + 4 + 6 + 8 = 4 * 5

2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5 * 6

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Многоточие означает не записанные равенства, * - знак умножения. Учитель ставит вопрос, как проверить справедливость написанных равенств?

Первый ученик убеждается в справедливости написанных равенств путем прямых вычислений левых и правых частей их. Дальнейших умозаключений не делает.

Второй ученик. В справедливости первого равенства убеждается путем прямого вычисления обеих частей равенства. Справедливость каждого из остальных равенств выводит, исходя из справедливости предыдущего равенства, путем суждений:

Второе равенство выводится из первого равенства. А так как первое равенство справедливо, следовательно, справедливо и второе равенство.

Третье равенство выводится из второго равенства. А так как второе равенство справедливо, следовательно, справедливо и третье равенство.

Четвертое равенство выводится из третьего равенства. А так как третье равенство справедливо, то справедливо и четвертое равенство.

Пятое равенство выводится из четвертого равенства. А так как четвертое равенство справедливо, то справедливо и пятое равенство. (Выводы справедливости равенств предоставляется читателю).

Третий ученик. В выводах, осуществляемых вторым учеником, он открывает для себя аналогию: вывод третьего равенства осуществляется аналогично выводу второго равенства, вывод четвертого равенства осуществляется аналогично выводу третьего равенства, вывод пятого равенства осуществляется аналогично выводу четвертого равенства, и т.д. – Вывод каждого равенства осуществляется аналогично выводу предыдущего равенства. И эту аналогию оформляет в виде единой схемы:

Из предыдущей формулы 2 + 4 + 6 + … + (2n) = n (n + 1) выводит последующую формулу 2 + 4 + 6 + … + (2n) + (2n + 2) = (n + 1) (n + 2).

Откуда заключает, что если предыдущая формула справедлива, то справедлива и последующая формула. И так как первая формула при этом справедлива, то справедлива вторая формула, раз вторая формула справедлива, то справедлива третья формула, раз третья формула справедлива, то справедлива четвертая формула, и т.д. Другими словами, исходная формула справедлива для каждого натурального числа.

Суждения первого и второго учеников основаны на принципе Modus ponens, который применяется 5 раз – конечное число раз. Суждения третьего ученика не могут быть основаны на принципе Modus ponens, так как в этом случае пришлось бы ему этот принцип применять «бесчисленное число» раз. Третий ученик открывает для себя новый принцип доказательства, отличный от принципа Modus ponens. Именно, он воображает себе, что принцип Modus ponens можно применять «бесчисленное число» раз:

I. Принцип Modus ponens можно применять 1 раз. II. Если принцип Modus ponens применен несколько раз, то его можно применять еще 1 раз – принцип математической индукции.

Суждение третьего ученика основано на принципе математической индукции – новое априорно синтетическое суждение, более сильное, чем принцип Modus ponens.

При открытии для себя принципа индукции третий ученик сознательно или бессознательно абстрагируется, т.е. мысленно отвлекается от несущественных сторон явления. Например, он не считает существенным то обстоятельство, что при переходе от одного равенства к следующему число слагаемых увеличиваются, и в некоторый момент запись равенства может не поместиться в одну строчку, а то и на целую страницу, а может быть и на несколько страниц. Что нет никакой преграды, чтобы вывести сто первое равенство из сотого равенства, тысяча первого равенства из тысячного равенства, а то и миллионного, даже миллиардного из предыдущего равенства. Вот эта уверенность и есть принцип индукции. Все это говорит о том, что принцип индукции не может быть условным соглашением. Он является свойством разума абстрагироваться. Вопрос может состоять лишь в том, законно или незаконно, приемлемо или неприемлемо такое абстрагирование?

Оглавление [18]

Глава 1.

1.13 Брауэр о математике. Воззрения автора на природу математических суждений, их различие от воззрений интуционизма Править

(По М. Клайн, с. 271). Предшественники интуиционизма Кронекер, Борель, Лебег, Пуанкаре и Бэр – созвездие блистательных имен! – высказывали критические замечания по поводу стандартных математических рассуждений и логического подхода, но их собственный вклад в развитие интуиционизма был фрагментарным и случайным. Их идеи вошли в окончательную версию, разработанную голландским математиком, основоположником философии интуиционизма Лейтценом Эгбертом Яном Брауэром (1881–1966). Изложение философии интуиционизма Брауэр начал в своей докторской диссертации «Об основаниях математики» (1907). Обобщенный вариант своих взглядов Брауэр изложил в серии статей, опубликованных, начиная с 1918 г., в различных журналах.

Интуиционистская позиция Брауэра в математике проистекает из его общефилософских взглядов. Математика, считает Брауэр, – это человеческая деятельность, которая начинается и проистекает в разуме человека. Вне человеческого разума математика не существует.

Математическое мышление, по Брауэру, представляет собой процесс мысленного построения, создающего свой собственный мир, не зависящий от опыта и ограниченный лишь тем, что в основе его должна лежать фундаментальная математическая интуиция. Это фундаментальное интуитивное понятие следует представлять себе не как нечто сходное по природе с неопределяемыми понятиями, встречающимися в аксиоматических теориях. Наоборот, через него должны постигаться разумом все неопределяемые идеи, используемые в различных математических системах, если они действительно призваны служить математическому мышлению. Кроме того, математика по своей природе синтетична. Она занимается составлением истин, а не выводит их из логики.

Комментарий. В вопросе зависимости или независимости математики от мышления человека наши взгляды полностью совпадают с взглядами интуиционизма. Вернее, к этим взглядам пришли мы под их влиянием. Однако мы расходимся с ним по ряду других взглядов. И первое среди них, стоит вопрос о средствах и орудиях построения математических предметов:

Математические построения всегда базируются на какой-нибудь абстракции, и этому факту мыслитель не всегда отдает себе ясный отчет, базовую абстракцию принимает бессознательно, скрыто от самого себя. (И многие недоразумения в рассуждениях проистекают главным образом из-за последнего обстоятельства). И когда мы доказываем какое-нибудь предложение, то порой мы на самом деле доказываем не само предложение, а эквивалентность нашего предложения скрыто принятой нашей абстракции.

Во-вторых, разум, который и строит математические предметы, не всесильный. Он подвержен всем человеческим слабостям, заблуждениям, и базовая абстракция, на основе которых происходят умственные построения, может быть выбрана незаконно, сознательно или бессознательно. В последнем случае приходим к ошибочным результатам, заблуждениям. По этой причине мы не застрахованы раз и навсегда от ошибок и заблуждений, кризисов в математике. Одни заблуждения продолжаются довольно долго, другие – менее долго, но, в конечном счете, они разрешаются. Эти кризисы являются как бы стимулами развития математики. Многие разделы современной классической математики построены на ошибочных воззрениях, на ошибочных абстракциях.

В-третьих, осознание того, что умственные построения осуществляются на основе абстракции, именно на основе законно принятой абстракции, представляет собой довольно сложное явление. Об этом свидетельствуют различные взгляды на обоснование математики имена многих выдающихся мыслителей в истории развития математической мысли: Анри Пуанкаре, Давид Гильберт, Георг Кантор, Герман Вейль, Леопольд Кронекер и многие другие. Абсолютно правильное мировоззрение на природу математического суждения имел Анри Пуанкаре, и наши мировоззрения в этом вопросе сложились главным образом под влиянием его идей. Делу доведения до конца обоснования математики помещала его ранняя смерть. Другие мыслители в этом вопросе занимали порой ошибочные воззрения.

Ясное представление о том, что математические построения осуществляются именно на основе синтетических априорных абстракций (термин Пуанкаре), мы получаем у Анри Пуанкаре на многочисленных примерах разъяснения сути математической индукции в математике, изложенных в его философских трудах, и математическая индукция является одним из примеров абстракции, на основе которой и осуществляется умственные построения.

Кроме того, нами осознано и то обстоятельство, что в математических построениях применяются много и других принципов индукций – априорных синтетических абстракций, более сильных, чем принцип математической индукции. При этом подавляющаяся часть математиков на самом деле применяют эти принципы в своих построениях, однако, применяют их неосознанно, скрытно, не отдавая себе ясного отчета в последнем. Как раз последнее обстоятельство и является источником многих недоразумений в обоснованиях математики. Такой подход является главным отличием нашего подхода от подходов других школ в обоснованиях математики. Конец комментария.

Брауэр подверг критическому анализу отношение математики к языку. Математика – полностью автономный, находящий основание в самом себе вид человеческой деятельности. Она не зависит от языка. Слова или словесные связки используются в математике только для передачи истин. Математические идеи уходят своими корнями в человеческий разум глубже, чем язык. Мир интуитивных математических представлений противостоит миру восприятий. К последнему, а не к математике, принадлежит язык, служащий для повседневного общения. Язык с помощью букв и звуков пробуждает в человеческом разуме копии идей. Различие между идеями и их копиями такое же, как между восхождением в гору и его словесным описанием. Но математические идеи не зависят от словесного одеяния, в которые их облекает язык, и в действительности гораздо богаче. Мысли никогда невозможно выразить полностью даже на математическом языке, в том числе и на языке символов. Кроме того, язык вносит отклонения от предмета собственно математики.

Комментарий. Наша некомпетентность не позволяет более глубже судить об отношении математики к языку. Однако мы убеждены в том, что язык (в том числе и математический) не может служить тем средством, тем орудием, той базой, той абстракцией, на основе которой осуществляются умственные построения, о которых сказано выше. Именно принятие языка как средства умственных построений и приводит к парадоксам, парадоксам Берри и Ришара. Следовательно, таковое принятие незаконно.

Тем не менее, без языка трудно представить себе математическое мышление. Язык является тем удобным средством, условным соглашением ради удобства (терминология Пуанкаре), с помощью которого и описываются умственные построения в математических суждениях. Таким образом, язык как условное соглашение отличается от априорных синтетических суждений.

Кроме того, мы не только подписываемся под тем фактом, что мысли никогда невозможно выразить полностью даже на математическом языке, в том числе и на языке символов, но последнее обстоятельство является главной причиной того, что многие споры, дискуссии между разными школами в обосновании математики возникают главным образом в силу последнего обстоятельства. Конец комментария.

Еще более решительную позицию, резко контрастирующую с логицизмом, интуиционизм занимает в отношении логики. Логика принадлежит языку. Она дает систему правил, позволяющих осуществлять дедуктивный вывод новых словесных связок, предназначаемых, по предположению, для того, чтобы передавать истины. Однако эти истины не относятся к числу постигаемых непосредственно и даже постигаемых вообще. Логика не является надежным инструментом для открытия истин и не может открыть истины, не получаемые каким-то другим путем. Логические принципы – это закономерности, наблюдаемые апостериорно в языке. Их можно назвать удобным инструментом для манипулирования языком, или считать, что они образуют теорию представлений языка. Логика – это наделенное внутренней структурой словесное построение, и не более того. Самые значительные успехи в математике достигнуты не за счет усовершенствования логической формы, а в результате изменений основной теории. Логика строится на математике, а не математика на логике.

Комментарий. Мы отличаем содержательную логику от формальной, которую называют и математической логикой. Содержательная логика характеризуется способностью разума рассуждать. Формальная логика это часть самой математики, которая должна развиваться по тем же законам, принципам, что и сама математика. Кроме того, мы исходим из того, что содержательная математика – способность разума рассуждать – не может быть описана точно, она описывается приближенно. Она описывается приближенно теми же формулами Аристотелевой логики, что и формальная логика. Последнее обстоятельство может привести к недоразумениям и приводит. Но что же делать? У нас нет другого выхода!

Для нас нет логики без математики, и нет математики без логики. Они развиваются параллельно! Формальная логика не может служить основой для обоснования математики. Основой для этой цели служит содержательная логика – способность разума рассуждать. Формальная логика удобна для обучения содержательной логике, содержательной математике. По этой причине требуется ее развитие. Нам представляется, что в настоящее время нет единой логики, разделяемой всеми мыслителями.

Аристотелеву логику мы принимаем, как приближенное описание способности разума рассуждать. Принцип математической индукции и другие принципы индукции по мере развития математики, при желании, также могут быть последовательно включаться в математическую логику. Конец комментария.

Оглавление [19]

Глава 1.

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на Фэндоме

Случайная вики